Главная » Во время родов

Точка разрыва первого рода

Как определить точки разрыва функции

Точка разрыва на графике функции возникает тогда, когда в ней нарушается непрерывность функции. Для того, чтобы функция была непрерывной, необходимо и достаточно, чтобы его левосторонний и правосторонний пределы в этой точке были равны между собой и совпадали со значением самой функции.

Существует два типа точек разрыва – первого и второго рода. В свою очередь, точки разрыва первого рода бывают устранимые и неустранимые. Устранимый разрыв появляется, когда односторонние пределы равны между собой, но не совпадают со значением функции в этой точке.

И напротив, он является неустранимым, когда пределы не равны между собой. В этом случае точка разрыва первого рода называется скачком. Разрыв второго рода характеризуется бесконечным или не существующим значением как минимум одного из односторонних пределов.

Чтобы исследовать функцию на точки разрыва и определить их род, разделите задачу на несколько этапов: найдите область определения функции, определите пределы функции слева и справа, сравните их значения со значением функции, определите тип и род разрыва.

Пример.
Найдите точки разрыва функции f(x) = (x - 25)/(x - 5) и определите их тип.

Решение.
1. Найдите область определения функции. Очевидно, что множество ее значений бесконечно за исключением точки x_0 = 5, т.е. x (-∞; 5) (5; +∞). Следовательно, точкой разрыва предположительно может быть только она;
2. Вычислите односторонние пределы. Исходную функцию можно упростить до вида f(x) - g(x) = (x + 5). Нетрудно увидеть, что эта функция непрерывна при любом значении x, поэтому ее односторонние пределы равны между собой: lim (x + 5) = 5 + 5 = 10.

3. Определите, совпадают ли значения односторонних пределов и функции в точке x_0 = 5:
f(x) = (x - 25)/(x - 5). Функция не может быть определена в этой точке, потому что тогда знаменатель обратится в ноль. Следовательно, в точке x_0 = 5 функция имеет устранимый разрыв первого рода.

Разрыв второго рода называется бесконечным. Например, найдите точки разрыва функции f(x) = 1/x и определите их тип.
Решение.
1. Область определения функции: x (-∞; 0) (0; +∞);
2. Очевидно, что левосторонний предел функции стремится к -∞, а правосторонний – к +∞. Следовательно, точка x_0 = 0 является точкой разрыва второго рода.

6.10. Классификация точек разрыва

Определение 12. Пусть функция f определена в некоторой окрестности точки x0. кроме, быть может, самой точки x0. Тогда x0 называется точкой разрыва функцииf. либо если функция f не определена в самой точке x0. либо если она определена в этой точке, но не является в ней непрерывной.
Образно говоря, точка x0 является точкой разрыва функции, если x0 является значением аргумента, при котором происходит разрыв графика функции .
Например, точка x = 0 является точкой разрыва функции f (x ) = 1/x. так как эта функция не определена при x = 0. Та же точка x = 0 является и точкой разрыва функции

так как в этом случае, хотя функция f и определена при x = 0, но она не непрерывна при x = 0.
Если в точке разрыва существуют конечные пределы f (x0 - 0) и f (x0 + 0), то она называется точкой разрыва первого рода. а величина f (x0 - 0) - f (x0 + 0) - скачком функцииf в точке x0 (рис. 65).

Если скачок функции в точке x0 равен нулю, то точка x0 называется точкой устранимого разрыва (рис. 66).
Точка разрыва, не являющаяся точкой разрыва первого рода, называется точкой разрыва второго рода.

Примеры. 1. У функции

(см. рис. 59 ) точка x0 = 0 является точкой разрыва первого рода, и скачок в ней равен 2:

sign (+0) - sign (-0) = 2.

Та же точка x0 = 0 является для функции f (x ) = |sign x | (см. рис. 60 ) точкой устранимого разрыва:

|sign (+0)| - |sign (-0)| = 0.

2. Точка x0 = 0 для функций f (x ) = 1/x и f (x ) = sin (1/x ) является точкой разрыва второго рода.

Определение. Точка х0 называется точкой разрыва функции f ( x ), если f(x) не определена в точке х0 или не является непрерывной в этой точке.

Определение. Точка х0 называется точкой разрыва 1- го рода. если в этой точке функция f ( x ) имеет конечные, но не равные друг другу левый и правый пределы.

Для выполнения условий этого определения не требуется, чтобы функция была определена в точке х = х0. достаточно того, что она определена слева и справа от нее.

Из определения можно сделать вывод, что в точке разрыва 1 – го рода функция может иметь только конечный скачок. В некоторых частных случаях точку разрыва 1 – го рода еще иногда называют устранимой точкой разрыва, но подробнее об этом поговорим ниже.

Определение. Точка х0 называется точкой разрыва 2 – го рода. если в этой точке функция f ( x ) не имеет хотя бы одного из односторонних пределов или хотя бы один из них бесконечен.

Пример. Функция Дирихле (Дирихле Петер Густав(1805-1859) – немецкий математик, член- корреспондент Петербургской АН 1837г)

не является непрерывной в любой точке х0.

Пример. Функция f ( x ) = имеет в точке х0 = 0 точку разрыва 2 – го рода, т.к.

Функция не определена в точке х = 0, но имеет в ней конечный предел . т.е. в точке х = 0 функция имеет точку разрыва 1 – го рода. Это – устранимая точка разрыва, т.к. если доопределить функцию:

График этой функции.

Эта функция также обозначается sign ( x ) – знак х. В точке х = 0 функция не определена. Т.к. левый и правый пределы функции различны, то точка разрыва – 1 – го рода. Если доопределить функцию в точке х = 0, положив f (0) = 1, то функция будет непрерывна справа, если положить f (0) = -1, то функция будет непрерывной слева, если положить f ( x ) равное какому- либо числу, отличному от 1 или –1, то функция не будет непрерывна ни слева, ни справа, но во всех случаях тем не менее будет иметь в точке х = 0 разрыв 1 – го рода. В этом примере точка разрыва 1 – го рода не является устранимой.

Таким образом, для того, чтобы точка разрыва 1 – го рода была устранимой, необходимо, чтобы односторонние пределы справа и слева были конечны и равны, а функция была бы в этой точке не определена.

Используются технологии uCoz

Источники: http://www.kakprosto.ru/kak-109052-kak-opredelit-tochki-razryva-funkcii, http://nuclphys.sinp.msu.ru/mathan/p1/m0610.html, http://pipec8.narod.ru/mat/matanaliz/8.htm

Комментариев пока нет!

Ваше имя *
Ваш Email *

Сумма цифр внизу: код подтверждения